IL GENIO RIBELLE: ÉVARISTE GALOIS

di Sergio  De Nuccio – Campobasso

La mattina del 31 maggio 1832, all’ospedale Cochin di Parigi moriva, poco più che ventenne, Évariste Galois. La sua morte, causata da una grave ferita all’addome riportata in un duello alla pistola all’alba del giorno precedente, significò un’immensa perdita per la Matematica.

Molti grandi matematici dell’800 sono pari a Galois per genialità; nessuno, però, lo supera per l’originalità e la profondità delle sue idee. Certamente la Teoria delle equazioni algebriche segnò un progresso considerevole per i contributi di Lagrange, Gauss e Abel, ma nessuno di questi riuscì a mettere in evidenza l’elemento fondamentale da cui dipendono tutte le proprietà delle equazioni. Il genio matematico di Galois si manifestò in tutta la sua grandezza proprio quando, all’età di 18 anni, riuscì a dimostrare che le caratteristiche essenziali di un’equazione algebrica, compresa la sua risolubilità per mezzo di radicali, si riflettono in specifiche proprietà di un particolare gruppo di sostituzioni, che si accompagna all’equazione in esame e che oggi viene chiamato gruppo di Galois di quella equazione. La teoria dei gruppi di sostituzione già era stata oggetto di numerose ricerche; ma, la generalizzazione del concetto di gruppo nella sua accezione moderna la si deve a Galois, che nei suoi studi sulla teoria delle equazioni fece emergere l’importanza della nozione di sottogruppo normale e la fondamentale distinzione tra gruppi semplici e gruppi composti.

Évariste Galois era nato il 25 ottobre 1811 a Bourge-la-Reine, un piccolo sobborgo di Parigi, dove trascorse la sua infanzia fino all’età di 12 anni,  istruito dalla madre che gli insegnò il latino e il greco.

Nel 1823 fu ammesso a frequentare la quarta classe presso il Collegio Reale Louis-le-Grand di Parigi, dove rimase come alunno interno fino al 1829. Nei primi anni scolastici, Galois era un alunno distinto e brillante; partecipava alle edizioni del Concours général,  ricevendo premi e menzioni sia in matematica che in greco. All’età di 15 anni cominciarono a manifestarsi le sue straordinarie attitudini per la matematica; s’immerse completamente nello studio delle Opere classiche di Legendre e di Lagrange, trascurando tutte le altre materie. A 17 anni pubblicò negli Annales di Gergonne il suo primo lavoro: dimostrazione di un teorema sulle frazioni continue periodiche,. Successivamente presentò all’Académie des Sciences di Parigi due Memorie sulla risolubilità per mezzo di radicali delle equazioni algebriche che, però, inspiegabilmente vennero smarrite. Il lavoro matematico più importante tra quelli pubblicati quando era ancora in vita, apparve nel 1830 nel Bulletin de Férussac. Le altre Memorie fondamentali, ritrovate nelle sue carte, furono pubblicate da Liouville nel 1846. Dopo aver tentato, senza successo, per due volte l’esame di ammissione all’École polythecnique, Galois entrò nel 1829 nell’École Normale, da cui fu espulso l’anno successivo per motivi politici. Nell’ultimo anno della sua vita si dedicò completamente alla politica e trascorse molti mesi in carcere. “Sembra, ohimè!, che l’infelice giovinetto abbia tristemente pagato il prezzo del suo genio”.

Alla vigilia del mortale duello, nella notte del 29 maggio 1823, come se fosse consapevole della sua tragica fine, Galois scrisse il suo testamento scientifico in una lettera al suo amico A. Chevalier. In esso espose, tra le altre cose, i risultati essenziali delle sue ricerche sugli integrali abeliani, che Riemann riuscì ad ottenere venticinque anni più tardi.  

NUMERI ALLO SPECCHIO

di Antonio Salmeri – Roma

In un qualsiasi sistema numerico a base b > 2, il sistema formato dalle cifre  1, 0, b-2, b-1 moltiplicato per k (k<b) e per b-k produce sempre due numeri aventi le cifre poste in posizione speculare:

k, k-1, b-k-1, b-k       e     b-k, b-k-1, k-1, k.

Si ha infatti:

Si deduce che il numero  moltiplicato per  produce il proprio speculare.

Nel sistema decimale (b = 10) il numero  è intero soltanto per k=1 ovvero con  e k=2 ovvero , si ha quindi:

 ; 

RIFLESSIONI SULLA CONGRUENZA TRA TRIANGOLI

di Francesco Laudano (Liceo Scientifico A. Romita – CB)

Esistono almeno due buone ragioni per riflettere sulla con gru-enza (o isometria) tra triangoli. Innanzi tutto il concetto di congruenza assume un ruolo importante nello sviluppo delle facoltà logico-intuitive degli studenti. Inoltre la geometria euclidea è, per buona parte, geometria della congruenza, poiché studia proprietà invarianti per congruenze.

Riflettendo sulla congruenza si osserverà che enunciati poco rigorosi del secondo criterio generalizzato fanno cadere in errore e generano false convinzioni. Per evitare ciò si propongono dei controesempi mediante costruzioni che potrebbero trovare spazio tra le attività didattiche.

      1.      Alcuni controesempi

Come è ben noto, grazie ai criteri di congruenza, per accertare la congruenza tra due triangoli è sufficiente disporre di informazioni “appropriate” sulla congruenza di alcuni elementi dei due triangoli. Spesso la presenza di tre elementi rispettivamente congruenti comporta la congruenza degli altri tre. Ma non sempre ciò avviene, e, per quanto banale, è utile mostrare esempi di triangoli simili ma non congruenti. Sembrerebbe, però, quasi evidente che due triangoli aventi quattro elementi rispettivamente congruenti debbano essere congruenti, visto che almeno uno degli elementi congruenti deve essere un lato. Ma nemmeno questo è vero.

Prop 2. E’ possibile costruire due triangoli non congruenti aventi quattro elementi rispettivamente congruenti.

Dim: basta considerare un triangolo rettangolo G e suddividerlo tracciando l’altezza relativa all’ipotenusa in due triangoli rettangoli S e D. Oltre all’angolo retto, S e G hanno un lato ed un angolo acuto in comune (ma non sono congruenti). E’ opportuno notare che anche D e G hanno quattro elementi congruenti, e di conseguenza pure S e D.

L’osservazione precedente potrebbe essere generalizzata a triangoli scaleni qualunque.

Per quanto banale, quest’osservazione induce a riflettere sugli enunciati dei criteri di congruenza dei triangoli, ed in particolare sul secondo criterio e sulle sue conseguenze. Molti testi, infatti, enunciano e “dimostrano” un criterio secondo il quale: “Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e un lato”.

Il controesempio fornito in precedenza mostra che l’affermazione appena citata è falsa. Per scoprire il paradosso è necessario analizzare con attenzione la dimostrazione del secondo criterio, valutando esattamente le ipotesi implicite del suo enunciato. Si comprende, allora, che essa non può essere replicata sui triangoli del controesempio poiché i loro lati rispettivamente congruenti non sono opportunamente posti. In altri termini per condurre a buon fine la dimostrazione è necessario che i lati congruenti siano opposti ad angoli rispettivamente congruenti! Molti testi, antichi e nuovi, per indicare questa circostanza, usano premettere l’avverbio “ordinatamente” all’aggettivo congruenti. In conclusione è corretto affermare che:  

Due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e un lato ordinatamente congruenti.

A questo punto sorge spontanea la domanda seguente: esistono coppie di triangoli non congruenti aventi cinque elementi rispettiva-mente congruenti?

Alcuni studi svolti dal prof. Pennini (Cfr. M.Pennisi, Triangles et moyennes, Mathematique & pedagogie n. 99, 21-26, 1994), hanno consentito di rispondere affermativamente a questa domanda.

Per fornire agli studenti uno spunto concreto per una riflessione sui criteri di congruenza, e sgomberare il campo da false convinzioni, può essere utile cercare una semplice costruzione di una siffatta coppia di triangoli.. La costruzione che si propone nella prossima proposizione utilizza la parte aurea di un segmento, pertanto nel disegno compaiono anche gli elementi necessari alla costruzione della parte aurea.

Prop 3. E’ possibile costruire due triangoli non congruenti aventi cinque elementi rispettivamente congruenti.

Si tracci un segmento BP e, dalla parte di P, se ne costruisca la sezione aurea PC. Come è ben noto  PB:PC=PC:BC e  PC>BC.

Si punti il compasso in B con apertura uguale alla lunghezza di PC e si tracci la circonferenza . Si tracci inoltre la retta  r  per  C  perpendicolare a  PB.

ed r  si intersecano in due punti (essendo PC>BC), detto A uno di essi lo si congiunga con P e con B.

Osservazione: il triangolo PAB è rettangolo in A.

Infatti esso ha l’angolo in B in comune col triangolo ABC, e per costruzione si ha   PB : AB = AB : BC  .

Quindi PAB e ABC sono simili per avere un angolo congruente compreso tra lati proporzionali. Di conseguenza l’angolo PAB è retto. Dall’osservazione precedente si deduce che i triangoli PAC e PAB hanno cinque elementi congruenti.

Si può inoltre osservare che anche i triangoli PAC ed ABC hanno cinque elementi congruenti.

UNA COSTRUZIONE DI ENRICO D’OVIDIO

di Antonio Caserio – Liceo Artistico “G. Manzù” - CB

L’insegnamento della geometria razionale nella scuola attuale è talmente ridotto che difficilmente il docente affronta il classico problema della quadratura del cerchio. Tuttavia egli, se volesse approfondire l’argomento, potrebbe presentare agli studenti una costruzione geometrica del grande matematico campobassano Enrico D’Ovidio, semplice e ingegnosa, che fornisce un quadrato la cui area approssima grandemente quella di un dato cerchio. Infatti, come è noto il problema non si può risolvere esattamente con riga e compasso.

La costruzione è esposta nel testo Elementi di Geometria (1) che D’Ovidio (1843-1933) pubblicò nel 1869, assieme al Sannia, e per la sua originalità è riportata anche nell’enciclopedia Questioni riguardanti le matematiche elementari di Federigo Enriques.

Costruzione di D’Ovidio

Sul diametro AB di un cerchio dato (vedi figura), si riporti il segmento  e dalla parte opposta il segmento . Sia E il punto medio di OB. Si descrivano, da bande opposte rispetto ad AB i semicerchi di diametro DE e AF. Si conduca per O la perpendicolare ad AB che incontri i due semicerchi nei punti G e H. Ebbene il segmento GH è il lato del quadrato richiesto.

Dim. Posto AO = r, per la costruzione fatta, si ha: , , . Dai triangoli DGE e AHF rettangoli (perché inscritti in semicerchi) abbiamo rispettivamente, per il 2º teorema di Euclide, le due proporzioni:  e . Da queste ricaviamo:  e   e,quindi,  

 . 

E poiché il lato del quadrato equivalente al cerchio dato è r . 1,7724674   , GH differisce da esso, per eccesso, per meno di    

  , dato che

.

Si osservi anche che  costituisce una buona approssimazione del famoso numero p, poiché differisce da esso, per eccesso, per meno di 5 centomillesimi.

Note

(1) Questo testo di geometria elementare per i licei ebbe 14 edizioni e rimase in adozione per oltre 50 anni nelle scuole italiane.