ALGEBRA E D’ INTORNI   NELLA SCUOLA PRIMARIA   

Un esempio di concezione costruttiva -sostanziale(Castelnuovo Emma-Lombardo Radice) dell'insegnamento della matematica nelle linee progettuali didattiche  di  Luigi Ambrosi docente del Collettivo Sperimentazione Matematica
Scuola Elementare via Ravenna e via W.Ferrari - 20139 Milano

 Progetto per sperimentazione didattica

Finalità didattiche

-         favorire elasticità e dinamismo mentale,

-         favorire la formazione del pensiero creativo attraverso la capacità di strutturare/destrutturare

          di entrare e uscire dai confini, porsi da diversi punti di vista.

A chi è rivolto :

L’itinerario può essere proposto dalla seconda classe elementare in su con i seguenti

pre-requisiti

-         saper svolgere operazioni con un operatore mancante,

-         saper operare su assi cartesiani (per le rappresentazioni grafiche),

-         acquisire conoscenze simboliche( Es. abitudine a rappresentare il segno della moltiplicazione con il punto anziché con il segno “x”. Espongo un già sperimentato itinerario didattico per avvicinare gli alunni all’algebra e al pensiero creativo.

 Contenuti

• Quadrati e radici dei numeri
• Infinito e zero
• Numeri sottozero (negativi)
• Dall’operatore mancante ai numeri segreti (equazioni)
• Operare con più numeri segreti
• Rappresentazione grafica delle equazioni
• (Equazioni di secondo grado e loro rappresentazione grafica)
• Multibase e base 16
• Operare con codici numerici diversi
• Sequenze e Giochi di logica
• Altre Geometrie

Metodo di lavoro per ogni  unità di apprendimento 

QUADRATI  E  RADICI DEI NUMERI

Ho presentato inizialmente l’elevamento al quadrato di numeri da uno a dieci, per arricchire la quantità di operazioni da far svolgere quotidianamente.  Sono partito dal materiale multibase  presentando e facendo manipolare, disegnare e successivamente rappresentare con i numeri i quadrati delle basi da uno a dieci. Ho fatto disegnare e caratterizzare loro ogni quadrato come un albero , facendo loro comporre il BOSCO DEGLI ALBERI QUADRATI , e facendo evidenziare la base di ogni differente albero; dentro al tronco verrà indicato il numero totale delle unità-quadretto che compongono l’albero. In pochi giorni gli alunni memorizzano che l’albero quadrato di base 3 quadretti è grande 9 quadretti, che l’albero quadrato di base 5 è grande 25 quadretti, che l’albero quadrato di base 10 è grande cento quadretti; dopotutto sono solo dieci coppie di numeri da memorizzare dopo aver manipolato e disegnato.

La rappresentazione aritmetica è meglio limitarla al numero corrispondente alla base con un quadratino sopra a destra. L’alunno quindi si esercita: per es. 5+ 3al quadrato; 4 al quadrato –6 ecc.  L’alunno acquisisce una idea pratica e geometrica dell’elevamento a potenza di un numero: tre al quadrato vuol dire un quadrato con base grande tre.                                                                         

Successivamente, a concetto consolidato, si possono presentare le radici: sono semplicemente le radici di quegli alberi quadrati già precedentemente memorizzati; la domanda agli alunni diventa: “un albero grande 9 su che radice si appoggia?”, “un albero grande 16 su che radice si appoggia?” ecc. Nel ridisegnare gli alberi quadrati , si va ad evidenziare la radice che altro non è che la base con una V iniziale; si chiama radice quadrata perché è la radice di un (albero) quadrato… 

L’alunno interiorizza la radice come inverso della potenza e anche in questo casa se ne fa una rappresentazione mentale grafico - geometrica.

Aumenta così ulteriormente la quantità e la diversità delle operazioni su cui l’alunno può esercitarsi.

Quando si fanno svolgere esercitazioni numeriche agli alunni, si può inserire qualche operazione con potenza e/o con radice.

INFINITO E ZERO

Agli alunni si può presentare il numero INFINITO    che contiene un valore concettuale nuovo rispetto agli altri numeri; lo presento come l’equivalente di un buco nero in astronomia, cioè un numero che ingoia ed assorbe tutti gli altri, ed ogni tanto lo presento in mezzo a qualche operazione.

Agli alunni piace molto:   8+ infinito= infinito;        infinito – 7000 = infinito   ; infinito – 1 miliardo = infinito ;  5 x infinito= infinito    ma  0 per infinito = 0        ; 8 : infinito = ragioniamo con gli alunni…….; la radice di infinito o il quadrato di infinito fa infinito

Anche lo ZERO può servire per far ragionare gli alunni, per esempio il quadrato di zero, la radice di zero, lo zero che nella moltiplicazione vince sempre ma che nella divisione , se 8 : 0=….., rende la divisione impossibile.

 NUMERI     SOTTOZERO (negativi)

Approfittando dell’inverno e delle basse temperature, si può pre presentare i numeri “sottozero”. Un modo di presentarli è far loro vivere il debito: hai due caramelle, scommetti con me tre caramelle che vinco io? L’alunno deve perdere e va in debito di uno con l’insegnante; dopo una serie di esercizi simili (hai 3, perdi 5 ecc.) non ho mai riscontrato particolari difficoltà degli alunni ad acquisirne il concetto. Dopodiché si può passare alla loro rappresentazione sulla linea dei numeri; limitandosi a scendere a 10-15 sottozero; a questo punto l’alunno è in grado di operare in riga avendo la linea dei numeri davanti:

 +3 –5 = +1-4= -1-3=  e 5-infinito=..... 

DALL’OPERATORE MANCANTE AI NUMERI SEGRETI (equazioni)

Alla fine della prima elementare gli alunni più capaci sono in grado di individuare l’operatore mancante che in genere viene proposto sotto forma di puntini:   ….+ 5 = 8.

Proporre inizialmente, in sostituzione dei puntini, un cappuccio con piedi che rappresenta il numero mascherato o segreto, quindi  invitare gli alunni a scoprire che numero si nasconde sotto il cappuccio. ……………………………………………

Consiglio di operare con numeri bassi, inferiori al 20 e meglio ancora entro il 10 perché in questo caso è più importante l’acquisizione dei concetti più che l’abilità di calcolo. L’alunno acquista confidenza col numero segreto e lo inizia a manipolare alla stregua di un numero concreto qualsiasi.

Successivamente ci si accorda su dei nomi comuni per i numeri incappucciati, mister X, mister Y, mister Z ecc., abbreviati in x, y, z e quindi si può procedere a togliere il cappuccio ai numeri nascosti.

A questo punto l’alunno può svolgere operazioni del tipo

 x + 3 = 7      x=… ;  x - 2 = 5     x= … ;    5 + y = 6       y=…. 

In fase consolidata, suggerisco di usare spesso il valore nullo (0) dell’incognita (y + 4 = 4) e proporre qualche volta equazioni al momento impossibili  tipo  2+x=0        

Si può cominciare ad incuriosire gli alunni spiegando che ci sono delle leggi segrete per risolvere queste operazioni: per esempio in x + 5 = 8,  quando il numero +5 attraversa il fiume dell’ = , cambia di segno e diventa –5, quindi ecco che x = 8 - 5 ci dà il numero nascosto.  Ancora  y – 4 = 7  il numero – 4 cambia di segno ed abbiamo così y = 7 + 4; quando si trasporta un numero oltre il fiume =, il numero cambia di segno, e questo vale anche per moltiplicazioni e divisioni. Unica attenzione a non isolare numeri negativi, e chiarire che se un numero iniziale non ha segno, è sottointeso il segno +. Inizialmente è preferibile abituare gli alunni a tenere l’incognita sulla sinistra dell’equazione.

OPERARE CON PIU’ NUMERI SEGRETI

Introduzione di due numeri segreti in contemporanea; scoprirne uno per individuare l’altro; comprensione del concetto di relazione e di interdipendenza, di soluzione per gradi, della possibilità di esistenza di più incognite diverse. Sottoporre sistemi di equazioni di primo grado del tipo:

X – 5 = 3   e  Y = x + 1

invitando l’alunno a scoprire il numero segreto x e y.  L’alunno prima deve scoprire il valore di x nella prima equazione  e poi sostituirlo nella seconda.

Più interessante l’introduzione del concetto di interdipendenza del tipo    SE……       ALLORA…..:

si può procedere proponendo una sola equazione con due incognite, assegnando noi a parte il valore ad una di esse:  x + y = 6              se x = 2      allora y vale ……;       se x = 5     allora y vale … .

Successivamente, per prepararli alla rappresentazione grafica delle equazioni, è meglio proporre le equazioni di primo grado con  y già isolata sulla sinistra ; es. y = x + 4. A questo punto gli alunni possono compilare la tabella del SE x…       ALLORA y… ,  con i valori predefiniti di x da 0 a 10 (colonna del SE) a cui l’alunno deve fare corrispondere i valori assunti da y (colonna di ALLORA).  Una serie di esercitazioni abituano l’alunno a compilare le tabelle.

EQUAZIONE         

Y = x + 4

     Se X                                                                        Allora Y

X=0                                                                                         Y=4

X=1                                                                                         Y=5

X=2                                                                                         Y=6

X=3                                                                                         Y=7

X=4                                                                                         Y=8

X=5                                                                                         Y=9

X=6                                                                                         Y=10

X=7                                                                                         Y=11

X=8                                                                                         Y=12

X=9                                                                                         Y=13

X=10                                                                                       Y=14

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLE EQUAZIONI 

Quando la gran parte degli alunni ha imparato a comporre le tabelle  “Se ….   Allora…”, si può passare alla rappresentazione delle equazioni sul piano cartesiano. I bambini scoprono che, come per magia, una equazione nasconde dei disegni e che coi numeri si può anche disegnare…..

Prerequisito è la conoscenza degli assi cartesiani e la capacita di operare su di essi.  Si  può ricorrere agli inizi a fotocopie degli assi cartesiani già numerati, meglio se si opera su quadretti grandi da 1 cm; avere l’avvertenza di trascrivere i numeri degli assi sulle righe e non dentro i quadretti altrimenti l’alunno si disorienta. La linea delle ascisse, orizzontale o mare o prato, viene chiamata ora la linea dei numeri segreti X; la linea delle ordinate, verticale o albero, viene chiamata ora la linea dei numeri segreti Y.

Data una equazione, l’alunno può disegnarla dopo averne compilato la tabella di Se… Allora… e congiungendo i punti disegnerà una retta. Successive espansioni possono portare a disegnare due rette e a individuare il punto di incontro. Per chi presenterà anche le potenze e radici, potrà far rappresentare sugli assi cartesiani anche le equazioni di secondo grado (parabole)

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO E LORO RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

A questo punto, padroneggiando la capacità di elevare al quadrato i numeri, all’alunno può essere riproposto di rappresentare graficamente una equazione di secondo grado sugli assi cartesiani:      es.  Y= X al quadrato  (oppure   Y=X al quadrato + 3 ecc..)

L’ alunno compone la tabella  avendo ben evidenziato l’equazione  Y=X 

                                                       ”SE ….                 ALLORA…..”

                                                           X=0                      Y=0

                                                           X=1                      Y=1

                                                           X= 2                     Y=4

                                                           X=3                      Y=9

                                                           X=4                      Y=16

E poi ne fa la rappresentazione grafica

BASE 16  E   MULTIBASE

Il calcolo multibase, molto diffuso a scuola fino ad una dozzina di anni fa tanto da essere al centro della programmazione didattica nel primo ciclo, è ora presente in forma ridotta su diversi libri di testo. Esso mira a sviluppare un pensiero com molteplici capacità di strutturare i dati e si pone in alternativa o in complemento al calcolo in base 10. Esso infatti propone di operare, fare riporti o prestiti non solo sui raggruppamenti fissi di 10 quantità, ma anche di due, tre ecc. E’ indispensabile, se proposto nelle classi ex-primo ciclo, utilizzare il materiale strutturato affinché gli alunni possano manipolare a lungo.

Con gli alunni ho sperimentato la base 16 che richiede una numerazione in parte letteraria. Il concetto è che devo eseguire operazioni di cambio quando arrivo non a 10 ma a 16. Poiché ogni cifra deve stare in una colonna, il numero 10 equivale ad A, 11 a B, 12 a C, 13 a D, 14 a E, 15 a F, a sedici si cambia; per cui 5+5 fa A, 8+7 a F, 9+9 fa 12 ecc. Con la tabella dei codici letterari, l’alunno può eseguire addizioni e sottrazioni ed oltre senza particolari difficoltà; è comunque consigliata per le classi alte della scuola primaria. Le operazioni, una volta presa familiarità con i codici letterari,  si svolgono in colonna.

OPERARE CON CODICI  NUMERICI  DIVERSI

Un tipo di esercitazione che ha sempre successo tra gli alunni è lo svolgimento di operazioni utilizzando numeri di altre culture che richiedono una diversa scrittura. Motivati dalla curiosità e dall’imparare cose che i propri genitori o amici non sanno fare, apprendono più rapidamente di quanto si pensi. Attualmente diventa anche una forma di accoglienza per gli alunni stranieri.

Le cifre più utilizzate sono quelle “arabe” e cinesi, ma ci sono anche i numeri dell’antico Egitto o di qualsiasi altra cultura. Inserire ogni tanto qualche operazione o numerazione con codici diversi piace e stimola una maggior elasticità mentale e capacità di codificazione/decodificazione. Un altro modo di presentarli , volendo anche quotidianamente, è nel trascrivere la data del giorno.

Il libro “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” – vol.4, ed.Erickson, ne fa una completa e straordinaria elaborazione.

SEQUENZE  E  GIOCHI DI LOGICA

SEQUENZE

Successioni di forme o di numeri vengono presentate agli alunni per invitarli a scoprire la legge, la regola, il ritmo della successione. E’ una buona pratica per far riflettere gli alunni sui numeri e sulla capacità di individuare le trasformazioni in corso in una successione. In genere suggerisco agli scolari di segnare sopra, tra un numero e l’altro, la differenza tra due numeri della successione (l’entità della trasformazione) e poi di osservarle e confrontarle  tra loro. Vi sono sequenze complesse che richiedono invece altri metodi, come le famose sequenze di Fibonacci : 1-2-3-5-8-13-21 ……dove ogni numero della successione è la somma dei due precedenti; si può cominciare anche con 1-3……. Le sue sequenze sono famose per aver avuto riscontro in natura, nella disposizione delle squame delle pigne, nella buccia dell’ananas, nella disposizione dei semi del girasole.   

GIOCHI DI LOGICA

Allego documentazione varia a titolo di esempi tra il numeroso materiale in circolazione. In particolare schemi di Sudoku da semplificare aggiungendo adeguatamente numeri.

Attività di ricerca per il docente per ampliare le conoscenze sul pensiero creativo

Per chi è abile a cercare documentazione nelle biblioteche o su internet, segnalo :

• David Perkins, della Harvard Graduate School of Education che sostiene l’estensione del pensiero creativo in tutti i curricoli scolastici. Egli sostiene che i pre-requisiti ad un pensiero creativo sono: la lucidità nel comprendere i confini e la loro limitatezza/superabilità, il piacere a muoversi lungo/attraverso i confini, perseveranza e abilità nel formulare e/o rsisolvere problemi.
• James L. Adams ha raccolto una collezione di idee  ed esercizi che si risolvono operando tra/oltre i confini.
• Alexander Calandra della Washington University di Saint Luis ha approfondito il teme della definizione dei confini di un problema.
• In Venezuela alcuni anni fa fu istituito un “Ministero dell’Intelligenza” per lo sviluppo del pensiero creativo in ogni ordine di scuola.

 Schede di lavoro per gli alunni saranno pubblicate prossimamente.